---
id: 5900f4cd1000cf542c50ffdf
title: 'Завдання 352: аналіз крові'
challengeType: 1
forumTopicId: 302012
dashedName: problem-352-blood-tests
---

# --description--

Кожну з 25 овець в отарі необхідно обстежити на рідкісний вірус, який вражає 2% популяції овець.

Існує точний та надзвичайно чутливий ПЛР-тест для зразків крові, який дає чіткий позитивний/негативний результат, але він забирає дуже багато часу та фінансів.

Через високу вартість, головний ветеринар пропонує замість того, щоб виконувати 25 окремих тестів, зробити наступне:

Вівці поділяються на 5 груп по 5 овець у кожній групі. Для кожної групи 5 зразків змішуються разом і проводиться один тест. Потім:

- Якщо результат негативний, усі вівці цієї групи вважаються здоровими.
- Якщо результат позитивний, буде проведено 5 додаткових тестів (для кожної тварини окремо), щоб визначити заражену вівцю.

Оскільки ймовірність зараження будь-якої конкретної тварини становить лише 0.02, перший тест (на спільних зразках) для кожної групи буде:

- Негативний (і більше ніяких тестів не потрібно) з ймовірністю ${0.98}^5 = 0.9039207968$.
- Позитивний (потрібно 5 додаткових тестів) з ймовірністю $1 - 0.9039207968 = 0.0960792032$.

Тому очікувана кількість тестів для кожної групи становить $1 + 0.0960792032 × 5 = 1.480396016$.

Отже, усі 5 груп можна перевірити, використовуючи в середньому лише $1.480396016 × 5 = \mathbf{7.40198008}$ тестів, що становить величезну економію, більш ніж на 70%!

Хоча схема, яку ми щойно описали, здається дуже ефективною, її все ж можна значно покращити (завжди припускаючи, що тест достатньо чутливий і через змішування різних зразків відсутні побічні ефекти). Наприклад:

- Можна почати з тестування на суміші усіх 25 зразків. Можна довести, що приблизно в 60.35% випадків цей тест буде негативним, тому більше ніяких тестів не знадобиться. Подальше тестування буде потрібно лише для решти 39.65% випадків.
- Якщо відомо, що принаймні одна тварина у групі з 5 інфікована, а перші 4 окремі тести виявляються негативними, немає потреби проводити тест на п’ятій тварині (ми знаємо, що саме вона заражена).
- Можна спробувати різну кількість груп або різну кількість тварин у кожній групі, регулюючи цю кількість на кожному рівні так, щоб загальна очікувана кількість тестів була мінімальною.

Щоб спростити дуже широкий спектр можливостей, існує одне обмеження, яке ми накладаємо при створенні найбільш економічно ефективної схеми: коли ми починаємо зі змішаного зразка, усі вівці, зразок яких використано, мають бути повністю перевірені (тобто вирок заражений/здоровий повинен бути досягнутий для всіх), перш ніж ми розпочнемо огляд будь-яких інших тварин.

Для поточного прикладу виявляється, що найбільш економічно ефективна схема тестування (ми назвемо це оптимальною стратегією) вимагає в середньому всього <strong>4.155452</strong> тестів!

Використовуючи оптимальну стратегію, нехай $T(s, p)$ представляє середню кількість тестів, необхідних для перевірки отари з $s$ овець на наявність вірусу з ймовірністю $p$ у будь-якої тварини. Таким чином, округливши до шести знаків після коми, $T(25, 0.02) = 4.155452$ та $T(25, 0.10) = 12.702124$.

Знайдіть $\sum T(10\\,000, p)$ за умови $p = 0.01, 0.02, 0.03, \ldots 0.50$. Дайте відповідь, заокруглену до шести знаків після коми.

# --hints--

`bloodTests()` має повернути `378563.260589`.

```js
assert.strictEqual(bloodTests(), 378563.260589);
```

# --seed--

## --seed-contents--

```js
function bloodTests() {

  return true;
}

bloodTests();
```

# --solutions--

```js
// solution required
```
